­　　類型一

­　　帶電粒子從三角形磁場(chǎng)的某一邊的中點(diǎn)垂直射入，運(yùn)動(dòng)到與另一邊相切，然后再離開磁場(chǎng)。設(shè)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的邊的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，此邊與和運(yùn)動(dòng)軌跡相切的邊的夾角為θ，則帶電粒子運(yùn)動(dòng)的半徑滿足方程。

­　　現(xiàn)對(duì)此關(guān)系試作簡(jiǎn)單證明。如圖1所示，令邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，是的中點(diǎn)，，。由幾何關(guān)系可知，由于，故有。

­　　下面來(lái)看看這一結(jié)論的應(yīng)用：

­　　【例1】（2012高考題改編）圖中左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U；兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設(shè)有一電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面，垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。已知這些離子到達(dá)磁場(chǎng)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，不計(jì)重力。求離子的質(zhì)量。

­　　

­　　解析：在粒子進(jìn)入正交的電磁場(chǎng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子的速度為v，電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E0，根據(jù)平衡條件得

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­　　由①②化簡(jiǎn)得

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­　　如圖3由幾何關(guān)系知

­　　④

­　　將④化簡(jiǎn)得

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­　　在磁場(chǎng)中粒子所需向心力由洛倫茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得

­　　⑥

­　　聯(lián)立③⑥化簡(jiǎn)得

­　　。

­　　【例2】如圖4所示，在一底邊長(zhǎng)為2L，θ＝45°的等腰三角形區(qū)域內(nèi)（O為底邊中點(diǎn)）有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子從靜止開始經(jīng)過(guò)電勢(shì)差為U的電場(chǎng)加速后，從O點(diǎn)垂直于AB進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力與空氣阻力的影響。當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多少時(shí)，粒子能以最大的圓周半徑偏轉(zhuǎn)后打到OA板？

­　　解析：粒子經(jīng)電場(chǎng)加速射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v

­　　qU＝mv2 ①

­　　要使圓周半徑最大，則粒子的圓周軌跡應(yīng)與AC邊相切，設(shè)圓周半徑為R。由圖5中幾何關(guān)系：

­　　R＋＝L ②

­　　在磁場(chǎng)中粒子由洛倫茲力提供向心力，則有

­　　qvB＝m③

­　　由①②③得聯(lián)立得

­　　B＝。

­　　類型二

­　　帶電粒子從三角形磁場(chǎng)中某一邊的端點(diǎn)射入，然后從這一邊的另一個(gè)端點(diǎn)離開磁場(chǎng)，設(shè)這條邊的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，入射方向與這一邊的夾角為，則帶電粒子運(yùn)動(dòng)的半徑滿足方程=Rsinθ。

­　　現(xiàn)對(duì)此關(guān)系試作簡(jiǎn)單證明。如圖6所示，令邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，是的中點(diǎn)，，。由幾何關(guān)系可知，=Rsinθ。

­　　下面來(lái)看看這一結(jié)論的應(yīng)用：

­　　【例3】（2013高考題改編）如所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，在第Ⅰ象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿y軸正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于xOy平面向里，正三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，且ab邊與y軸平行。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，從y軸上的P（0，h）點(diǎn)，以大小為v0的速度沿x軸正方向射入電場(chǎng)，通過(guò)電場(chǎng)后從x軸上的a（2h，0）點(diǎn)進(jìn)入第Ⅳ象限，又經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)從y軸上的某點(diǎn)進(jìn)入第Ⅲ象限，且速度與y軸負(fù)方向成45°角，不計(jì)粒子所受的重力。求：abc區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值。

­　　解析：帶電粒子在電場(chǎng)中從P到a的過(guò)程中做類平拋運(yùn)動(dòng)。

­　　水平方向上：2h＝v0t①

­　　豎直方向上：h＝at2 ②

­　　由牛頓第二定律得a＝③

­　　粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)沿y軸負(fù)方向的分速度為

­　　vy＝at④

­　　由①③④式得vy＝v0 ⑤

­　　而vx＝v0 ⑥

­　　粒子到達(dá)a點(diǎn)的速度

­　　va＝＝v0 ⑦

­　　粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有qvB＝m⑧

­　　由此得R＝⑨

­　　從上式看出，R與B成反比，當(dāng)R最大時(shí)，B最小。

­　　由圖8可知，當(dāng)粒子從b點(diǎn)射出磁場(chǎng)時(shí)，R最大。

­　　由幾何關(guān)系得⑩

­　　將①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得B的最小值為Bmin＝。